Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník ABCD nazýváme tětivovým čtyřúhelníkem právě tehdy, když existuje kružnice, která prochází body A, B, C, D. Jeho strany jsou tedy tětivami kružnice, čtyřúhelníku opsané.
Definice
[editovat | editovat zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Deltoid-_%C3%BAhly.png/220px-Deltoid-_%C3%BAhly.png)
Součet velikostí protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý. Nechť |∠ABC| = β, |∠ADC| = δ a ABCD je tětivový čtyřúhelník. Libovolná jeho úhlopříčka, např. AC, dělí kružnici k na dva oblouky: na jednom z nich je vrchol B, na druhém vrchol D. Pro jim příslušné středové úhly, kde |∠ASC| = 2β, |∠ASB| = 2δ, platí 2β + 2δ = 360°. Pro příslušné obvodové úhly platí β + δ = 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u vrcholů B a D je 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů musí být tedy rovněž 180°. Jestliže platí β + δ = 180°, pak sestrojíme-li kružnici k opsanou trojúhelníku ABC, musí tato kružnice procházet i vrcholem D, neboť součet středových úhlů příslušných kružnicovým obloukům ABC, ADC je 2 ⋅ (β + δ) = 360°.[1]
Příklady
[editovat | editovat zdroj]Tětivové čtyřúhelníky jsou například čtverec, obdélník a rovnoramenný lichoběžník.
Vlastnosti
[editovat | editovat zdroj]Pro rozměry tětivového čtyřúhelníku platí Ptolemaiova věta: Součin (délek) úhlopříček ve čtyřúhelníku je roven součtu součinů (délek) jeho protějších stran.
Pro obsah tětivového čtyřúhelníku platí Brahmaguptův vzorec:
kde je jeho poloviční obvod.
Z něj lze dostat jako limitní případ, kdy se jedna ze stran rovná nule (např. d), Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka,
.
Reference
[editovat | editovat zdroj]- ↑ KUŘINA, František. Deset pohledů na geometrii. Praha: ALBRA: 1. vydání, 1996. 249 s. ISBN 80-85823-21-7.
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu tětivový čtyřúhelník na Wikimedia Commons